Ecuaciones cúbicas y cuárticas

La importancia teórica de las fórmulas para la resolución de las ecuaciones cúbicas, y más aún, para las cuárticas, estriba en que con ellas quedan resueltas por medio de expresiones algebraicas irracionales respecto de los coeficientes; pero su valor práctico, en especial para las cuárticas, es casi nulo.

Ecuación cúbica:

La ecuación general de tercer grado, reducido su primer coeficiente  a 1, (para lo cual basta dividir por  todos lo términos), es:
y poniendo  , el coeficiente de  se anula, obteniendo una ecuación  sin segundo término, cuyes raíces son las de la primera, incrementadas en  . Bastará, pues, estudiar las ecuaciones del tipo:
Bien, sean entonces u y v, las raíces cúbicas de
respectivamente.
Notamos que sobre el cuerpo de los complejos tenemos tres valores para u y tres para v.
Debemos elegir solamente aquellos valores que satisfacen la condición:
Y con esta restricción, las tres raíces de la ecuación vienen dadas por:
Fórmula debida a Scipión del Ferro, que comúnmente es llamada de Cardano.

Ecuación cuártica:

Si en la ecuación cuártica general (previa división por el primer coeficiente):
efectuamos la sustitución  , obtenemos otra ecuación sin segundo término, del tipo:
Consideramos las soluciones  obtenidas por Cardano, de la ecuación cúbica siguiente, llamada resolvente:
Extrayendo sus raíces cuadradas resultan los valores  .
Debemos elegir los valores de u, v y w, de tal forma que satisfacen la condición:
Y con esta restricción, las cuatro raíces de la ecuación vienen dadas por:
Fórmula debida a Ferrari.