|
|
Línies de Recerca
Resum de l'activitat de
Recerca
Els temes d'investigació
estan relacionats amb l'estudi d'equacions diferencials no lineals: estudi
del caos en un sistema dinàmic a través de la intersecció
de varietats invariants, estudi de sistemes dinàmics en el pla,
problemes inversos en la dinàmica.
Les necessitats de caràcter tècnic i teòric
dels últims temps han donat un gran impuls al desenvolupament de noves
àrees en el camp dels sistemes dinàmics, com són enfocaments
globals, estudi de caos i problemes inversos en la teoria de les equacions
diferencials. Inicialment el concepte de sistema dinàmic era un
concepte equivalent al de les equacions diferencials, on evidentment la
variable temporal es considera una variable contínua. En l'actualitat
la teoria dels sistemes dinàmics es desenvolupa en dues direccions:
sistemes dinàmics en temps continu i sistemes dinàmics en
temps discret.
En l'estudi dels sistemes dinàmics en temps continu es distingeixen
altres dues branques ben definides:
1) Problemes directes (o problemes d'integració d'equacions)
2) Problemes inversos (o problemes de construcció de models matemàtics
que descriuen el comportament de fenòmens físics amb propietats
donades)
Dins dels problemes directes, es troben les investigacions de la professora
Carme Olivé, que actualment està desenvolupant la seva tesi
doctoral sota la supervisió de la professora de la UPC M.T. M-Seara
en el camp de la teoria del ressorgiment iniciada per J. écalle.
Aquest treball està destinat al càlcul d'angles entre corbes
invariants associades a punts d'equilibri hiperbòlics d'equacions
diferencials ordinàries (EDO). En aquest treball, tot i estar connectat
amb els treballs de diversos investigadors del grup de sistemes dinàmics
UB-UPC, com són els Drs Amadeu Delshams, Antoni Benseny, Ernest Fontich,
Teresa Martínez-Seara, Vassile G. Gelfreich,..., es pretén
utilitzar la teoria del ressorgiment, que actualment està desenvolupant-se,
per a la seva aplicació a aquest tipus de problemes. També
s'utilitzen mètodes numèrics per tal de determinar el valors
de les constants, quan això no és possible amb tècniques
analítiques. Els angles entre aquestes corbes invariants d'EDO donen
una gran informació sobre el grau d'estocasticitat del problema
prop d'elles. Per a sistemes hamiltonians d'un grau de llibertat hi ha
resultats generals sobre el valor d'aquests angles quan els sistemes són
pertorbats de manera dèbil. Aquests resultats no poden estendre's
directament als sistemes hamiltonians amb dinàmica lenta dèbilment
pertorbats (encara que és un tema molt estudiat en aquests moments
i que està donant nombrosos resultats). Alguns casos són
inabordables des del punt de vista analític i, per tant, s'han de
desenvolupar i implementar algorismes de càlcul d'aquests angles.
En la solució dels problemes directes és necessari prèviament
definir correctament què s'entén per integració de
les equacions diferencials. Si aquestes descriuen el comportament d'algun
fenòmen físic, aleshores és possible observar els seus
canvis en el temps. En base al teorema d'existència i unicitat, fixades
unes condicions inicials, podem determinar, mitjançant integració,
la posició del mòbil en el passat i en el futur. La integració
de les equacions, sense informació complementària de la situació
real, pot portar a resultats sense sentit. Si, per exemple, per integració
s'entén el procés de determinació d'expressions analítiques
per a les solucions, aleshores és necessari plantejar-se la pregunta
sobre el caràcter i propietats que ha de tenir aquesta expressió.
és ben conegut que expressar les solucions d'equacions diferencials
mitjançant funcions elementals o integrals d'aquestes funcions s'aconsegueix
excepcionalment, en general les expressions que s'obtenen són tan
complicades que el seu anàlisi es fa pràcticament impossible.
Si pretenem calcular les solucions mitjançant sèries formals,
aleshores apareix el problema de convergència. Les sèries
que s'aconsegueixen construir normalment convergeixen molt lentament, i
per tant les fa pràcticament inútils. Aquestes i altres dificultats
que apareixen a la solució del problema directe, ha portat a plantejar-se
la necessitat de l'estudi de problemes inversos.
En el desenvolupament de la teoria de les equacions diferencials s'ha
plantejat, per exigències de caràcter tan tècniques
com teòriques, la necessitat de realitzar moviments programats,
la qual cosa porta a plantejar-se, per un altre costat, el problema de
construcció d'equacions diferencials que tinguin propietats donades
a priori. La importància d'aquest tipus de problemes ja les van fer
veure científics de la talla de Newton, Bertran, Suslov, Joukovski,
Eruguin, Szebehely etc... S'estudien tres problemes fonamentals:
1.Problema invers de Helmholtz
2.Problema invers de Dainelli-Suslov
3.Problema invers de Eruguin-Galiullin
El primer tema va ser motivat per l'existència de la relació
entre la dinàmica del fenòmen físic (dos pèndols
que interactuen) el comportament dels quals es descriu per les equacions
diferencials x''=by-ax y''=-bx-ay i la dinàmica dels fenòmens,
el comportament dels quals es descriuen per equacions lagrangianes amb
funcions lagrangianes. Aquest fet ens va portar a desenvolupar la teoria
dels sistemes que hem denominat dinàmico-equivalents i que representa
un desenvolupament de les idees de Helmholtz sobre la descripció
dels fenòmens físics de naturalesa general mitjançant
equacions lagrangianes. Els resultats obtinguts els apliquem fonamentalment
a l'estudi dels sistemes amb enllaços. El segon problema apareix
per la necessitat de proposar nous enfocaments en l'estudi dels sistemes
amb enllaços i de donar una solució general al problema invers
en la mecànica celest sobre la construcció de camps de forces
capaces de generar òrbites donades. Una de les idees fonamentals
en aquesta direcció és la que va aportar el científic
soviètic Eruguin, qui l'any 1952 va proposar construir equacions
diferencials amb trajectòries fixades.
Els problemes inversos que desenvolupa el grup són:
1) Construcció de camps de forces que garanteixen que una partícula
es mogui en una subvarietat de l'espai de fases. Aquest problema va ser
plantejat per primera vegada per Newton i desenvolupat per Bertrand, Suslov,
Danielli i en l'actualitat ha rebut un gran impuls amb les investigacions
de Szebehely, Galiullin i els seus deixebles.
2) Construcció de camps analítics en el pla en base a integrals
primeres, integrals parcials o solucions fixades. Finalment, el problema
d'Erugin-Galiullin, relacionat amb la construcció d'equacions diferencials
ordinàries a partir d'integrals particulars, solucions, etc. l'hem
desenvolupat, fonamentalment per a sistemes en el pla, fent màxima
atenció als sistemes polinòmics.
Pel que fa a participació del grup en projectes de recerca,
bàsicament és a través del grup de sistemes dinàmics
de la UPC-UB i de colaboracions amb grups d'altres disciplines de la URV.
|