Logodeim Grup de recerca
Localització.
Equip d'Investigació.
Línies i Activitats de recerca.

Activitats
Publicacions en Revistes.
Publicacions en llibres.
Congressos.
Serveis, Tècniques i Instrumental.
Tesis Doctorals.
Presentació de Comunicacions.
Projectes de Recerca.
Actuacions com a referee d'articles.
Traduccions.
Altres.
Titol


Línies de Recerca

  • Equacions Diferencials

Resum de l'activitat de Recerca

Els temes d'investigació estan relacionats amb l'estudi d'equacions diferencials no lineals: estudi del caos en un sistema dinàmic a través de la intersecció de varietats invariants, estudi de sistemes dinàmics en el pla, problemes inversos en la dinàmica.

 Les necessitats de caràcter tècnic i teòric dels últims temps han donat un gran impuls al desenvolupament de noves àrees en el camp dels sistemes dinàmics, com són enfocaments globals, estudi de caos i problemes inversos en la teoria de les equacions diferencials. Inicialment el concepte de sistema dinàmic era un concepte equivalent al de les equacions diferencials, on evidentment la variable temporal es considera una variable contínua. En l'actualitat la teoria dels sistemes dinàmics es desenvolupa en dues direccions: sistemes dinàmics en temps continu i sistemes dinàmics en temps discret.

En l'estudi dels sistemes dinàmics en temps continu es distingeixen altres dues branques ben definides:
1) Problemes directes (o problemes d'integració d'equacions)
2) Problemes inversos (o problemes de construcció de models matemàtics que descriuen el comportament de fenòmens físics amb propietats donades)

Dins dels problemes directes, es troben les investigacions de la professora Carme Olivé, que actualment està desenvolupant la seva tesi doctoral sota la supervisió de la professora de la UPC M.T. M-Seara en el camp de la teoria del ressorgiment iniciada per J. écalle. Aquest treball està destinat al càlcul d'angles entre corbes invariants associades a punts d'equilibri hiperbòlics d'equacions diferencials ordinàries (EDO). En aquest treball, tot i estar connectat amb els treballs de diversos investigadors del grup de sistemes dinàmics UB-UPC, com són els Drs Amadeu Delshams, Antoni Benseny, Ernest Fontich, Teresa Martínez-Seara, Vassile G. Gelfreich,..., es pretén utilitzar la teoria del ressorgiment, que actualment està desenvolupant-se, per a la seva aplicació a aquest tipus de problemes. També s'utilitzen mètodes numèrics per tal de determinar el valors de les constants, quan això no és possible amb tècniques analítiques. Els angles entre aquestes corbes invariants d'EDO donen una gran informació sobre el grau d'estocasticitat del problema prop d'elles. Per a sistemes hamiltonians d'un grau de llibertat hi ha resultats generals sobre el valor d'aquests angles quan els sistemes són pertorbats de manera dèbil. Aquests resultats no poden estendre's directament als sistemes hamiltonians amb dinàmica lenta dèbilment pertorbats (encara que és un tema molt estudiat en aquests moments i que està donant nombrosos resultats). Alguns casos són inabordables des del punt de vista analític i, per tant, s'han de desenvolupar i implementar algorismes de càlcul d'aquests angles.

En la solució dels problemes directes és necessari prèviament definir correctament què s'entén per integració de les equacions diferencials. Si aquestes descriuen el comportament d'algun fenòmen físic, aleshores és possible observar els seus canvis en el temps. En base al teorema d'existència i unicitat, fixades unes condicions inicials, podem determinar, mitjançant integració, la posició del mòbil en el passat i en el futur. La integració de les equacions, sense informació complementària de la situació real, pot portar a resultats sense sentit. Si, per exemple, per integració s'entén el procés de determinació d'expressions analítiques per a les solucions, aleshores és necessari plantejar-se la pregunta sobre el caràcter i propietats que ha de tenir aquesta expressió. és ben conegut que expressar les solucions d'equacions diferencials mitjançant funcions elementals o integrals d'aquestes funcions s'aconsegueix excepcionalment, en general les expressions que s'obtenen són tan complicades que el seu anàlisi es fa pràcticament impossible. Si pretenem calcular les solucions mitjançant sèries formals, aleshores apareix el problema de convergència. Les sèries que s'aconsegueixen construir normalment convergeixen molt lentament, i per tant les fa pràcticament inútils. Aquestes i altres dificultats que apareixen a la solució del problema directe, ha portat a plantejar-se la necessitat de l'estudi de problemes inversos.

En el desenvolupament de la teoria de les equacions diferencials s'ha plantejat, per exigències de caràcter tan tècniques com teòriques, la necessitat de realitzar moviments programats, la qual cosa porta a plantejar-se, per un altre costat, el problema de construcció d'equacions diferencials que tinguin propietats donades a priori. La importància d'aquest tipus de problemes ja les van fer veure científics de la talla de Newton, Bertran, Suslov, Joukovski, Eruguin, Szebehely etc... S'estudien tres problemes fonamentals:
1.Problema invers de Helmholtz
2.Problema invers de Dainelli-Suslov
3.Problema invers de Eruguin-Galiullin

El primer tema va ser motivat per l'existència de la relació entre la dinàmica del fenòmen físic (dos pèndols que interactuen) el comportament dels quals es descriu per les equacions diferencials x''=by-ax y''=-bx-ay i la dinàmica dels fenòmens, el comportament dels quals es descriuen per equacions lagrangianes amb funcions lagrangianes. Aquest fet ens va portar a desenvolupar la teoria dels sistemes que hem denominat dinàmico-equivalents i que representa un desenvolupament de les idees de Helmholtz sobre la descripció dels fenòmens físics de naturalesa general mitjançant equacions lagrangianes. Els resultats obtinguts els apliquem fonamentalment a l'estudi dels sistemes amb enllaços. El segon problema apareix per la necessitat de proposar nous enfocaments en l'estudi dels sistemes amb enllaços i de donar una solució general al problema invers en la mecànica celest sobre la construcció de camps de forces capaces de generar òrbites donades. Una de les idees fonamentals en aquesta direcció és la que va aportar el científic soviètic Eruguin, qui l'any 1952 va proposar construir equacions diferencials amb trajectòries fixades.
Els problemes inversos que desenvolupa el grup són:
1) Construcció de camps de forces que garanteixen que una partícula es mogui en una subvarietat de l'espai de fases. Aquest problema va ser plantejat per primera vegada per Newton i desenvolupat per Bertrand, Suslov, Danielli i en l'actualitat ha rebut un gran impuls amb les investigacions de Szebehely, Galiullin i els seus deixebles.
2) Construcció de camps analítics en el pla en base a integrals primeres, integrals parcials o solucions fixades. Finalment, el problema d'Erugin-Galiullin, relacionat amb la construcció d'equacions diferencials ordinàries a partir d'integrals particulars, solucions, etc. l'hem desenvolupat, fonamentalment per a sistemes en el pla, fent màxima atenció als sistemes polinòmics.

 Pel que fa a participació del grup en projectes de recerca, bàsicament és a través del grup de sistemes dinàmics de la UPC-UB i de colaboracions amb grups d'altres disciplines de la URV.